为什么要学Kruskal重构树

有时候，题目让我们多次求一个图的两点路径上最小值最大/最大值最小是多少。这种时候，根据一个比较显然的结论，我们可以把问题搬到一颗最小/最大生成树里面去做。 这个时候，我们当然可以倍增来搞这个问题。但在这里，我想向大家引入一种新的数据结构，它是基于kruskal求生成树的算法改来的，因此被称为Kruskal重构树。

什么是Kruskal重构树

这张图可以一目了然的介绍Kruskal重构树： 图出自https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/77601523

怎么建Kruskal重构树

肥肠简单，我们在做Krusckal算法的时候，当我们要连边的时候，我们把这两个点连向一个新构建的点(在图中以方点表示)，然后把这两个点的fa设为那个方点，方点的权值为这条边的权值，继续做Kruskal即可。 代码可能更优表现力：

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bool cmp(edge x,edge y)
{
    return x.w<y.w;
}
int fa[N],w[N],to;
int FindFather(int x)
{
    if(fa[x]==0) return x;
    return fa[x]=FindFather(fa[x]);
}
vector <int> e2[N];
void Kruskal()
{
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    to=n;
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
        e2[i].reserve(4);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int fa1=FindFather(e[i].s),fa2=FindFather(e[i].t);
        if(fa1==fa2) continue;
        w[++to]=e[i].w,fa[fa1]=to,fa[fa2]=to;
        e2[to].push_back(fa1),e2[to].push_back(fa2);
    }
}

Kruskal重构树有什么性质

1. 两个点在原图中的所有路径上某条路径中的最小值最大/最大值最小即为他们在Kruskal重构树上这两个点的LCA的权值
2. 这是一个二叉树
3. 树上权值满足堆的性质 (从我们构建过程中可以很简单的证明)

Kruskal重构树相关题目

1.BZOJ 3732 真*模板题 2.NOI2018 归程 相关性质的简单应用

注：肥肠感谢julao lbc的教学